راه حل سمیه: راهبرد حدس و آزمایش
۱- حاصل جمع پنج عدد متوالی طبیعی ۶۵ شده است. عدد وسط چه عددی است؟ راه حل سمیه را کامل کنید و توضیح دهید.
**توضیح راهبرد:**
راهبرد **حدس و آزمایش** شامل سه مرحله است: ۱) انتخاب یک حدس منطقی، ۲) آزمایش کردن حدس با شرایط مسئله، و ۳) استفاده از نتیجه برای بهبود حدس بعدی. این فرآیند تا رسیدن به پاسخ صحیح تکرار می‌شود.
**تکمیل جدول:**
- **حدس اول:** $ ۵+۶+۷+۸+۹ = ۳۵ $. این حاصل از ۶۵ بسیار کمتر است.
- **حدس دوم:** $ ۷+۸+۹+۱۰+۱۱ = ۴۵ $. هنوز کم است.
- **حدس سوم:** با توجه به اینکه حاصل قبلی ۲۰ واحد کم بود، اعداد را ۴ واحد افزایش می‌دهیم ($۲۰ \div ۵ = ۴$).
$ ۱۱+۱۲+۱۳+۱۴+۱۵ = ۶۵ $. این پاسخ صحیح است.
**پاسخ نهایی:**
اعداد مورد نظر **$۱۱, ۱۲, ۱۳, ۱۴, ۱۵$** هستند و عدد وسط **۱۳** است.
راه حل فریده: راهبرد رسم شکل
راه حل فریده را کامل کنید و توضیح دهید.
**توضیح راهبرد:**
فریده از راهبرد **رسم شکل** استفاده کرده است. او کوچک‌ترین عدد را به صورت یک نوار زرد در نظر گرفته و اعداد بعدی را به صورت همان نوار به علاوه تعدادی واحد (مربع‌های سفید) نمایش داده است. با این کار، مسئله به معادله‌ای تصویری تبدیل می‌شود.
**تکمیل راه‌حل:**
۱. **تشکیل عبارت:** همان‌طور که در شکل نشان داده شده، مجموع کل برابر است با ۵ نوار زرد به علاوه ۱۰ مربع سفید ($۱+۲+۳+۴=۱۰$).
$ ۵ \times (\text{نوار زرد}) + ۱۰ = ۶۵ $
۲. **حل معادله:**
$ ۵ \times (\text{نوار زرد}) = ۶۵ - ۱۰ = ۵۵ $
$ \text{نوار زرد} = \frac{۵۵}{۵} = ۱۱ $
۳. **یافتن اعداد:**
نوار زرد نشان‌دهنده کوچک‌ترین عدد است که ۱۱ می‌باشد.
بنابراین، اعداد عبارتند از: **$۱۱, ۱۲, ۱۳, ۱۴, ۱۵$**.
عدد وسط **۱۳** است.
راه حل فهیمه: راهبرد روش‌های نمادین
راه حل فهیمه را کامل کنید و توضیح دهید.
**توضیح راهبرد:**
این راهبرد مشابه راهبرد رسم شکل است، اما به جای نوارهای زرد از یک **نماد** (در اینجا دایره $◯$) برای نمایش مقدار مجهول (کوچک‌ترین عدد) استفاده می‌کند.
**تکمیل راه‌حل:**
۱. **تشکیل تساوی:** پنج عدد متوالی به صورت $◯$, $◯+۱$, $◯+۲$, $◯+۳$ و $◯+۴$ نوشته شده‌اند. مجموع آنها برابر ۶۵ است:
$ ◯+(◯+۱)+(◯+۲)+(◯+۳)+(◯+۴) = ۶۵ $
۲. **ساده‌سازی:** با جمع کردن نمادها و اعداد، به تساوی زیر می‌رسیم:
$ ۵◯ + ۱۰ = ۶۵ $
۳. **حل برای $◯$:**
$ ۵◯ = ۶۵ - ۱۰ = ۵۵ $
$ ◯ = \frac{۵۵}{۵} = ۱۱ $
۴. **یافتن اعداد:**
نماد $◯$ نشان‌دهنده کوچک‌ترین عدد یعنی ۱۱ است. پس اعداد عبارتند از: **$۱۱, ۱۲, ۱۳, ۱۴, ۱۵$**.
عدد وسطی، سومین عدد یعنی $◯+۲ = ۱۱+۲=۱۳$ است.
راه حل مهدیه: راهبرد تشکیل معادله
راه حل مهدیه را کامل کنید و توضیح دهید.
**توضیح راهبرد:**
مهدیه از راهبرد **تشکیل معادله** استفاده کرده است. او کوچک‌ترین عدد را به عنوان متغیر $x$ در نظر گرفته و سایر اعداد را بر حسب $x$ نوشته است. این روش، یک راه حل دقیق و جبری برای مسئله فراهم می‌کند.
**تکمیل راه‌حل:**
۱. **تعریف متغیر:**
$x$ = کوچک‌ترین عدد
اعداد متوالی: $x, x+۱, x+۲, x+۳, x+۴$
۲. **تشکیل معادله:**
$ x+(x+۱)+(x+۲)+(x+۳)+(x+۴)=۶۵ $
۳. **ساده‌سازی و حل:**
$ ۵x + ۱۰ = ۶۵ $
$ ۵x = ۶۵ - ۱۰ = ۵۵ $
$ x = \frac{۵۵}{۵} = ۱۱ $
۴. **یافتن اعداد:**
از آنجایی که $x$ کوچک‌ترین عدد است، اعداد عبارتند از: **$۱۱, ۱۲, ۱۳, ۱۴, ۱۵$**.
عدد وسط **۱۳** است.
راه حل فرشته: راهبرد تشکیل معادله
تفاوت راه‌حل‌های فرشته و مهدیه را توضیح دهید.
**توضیح راهبرد فرشته:**
فرشته نیز از راهبرد تشکیل معادله استفاده کرده است، اما با یک انتخاب هوشمندانه‌تر برای متغیر $x$. او **عدد وسطی** را به عنوان $x$ در نظر گرفته است. این کار باعث ساده‌سازی محاسبات می‌شود.
**حل معادله فرشته:**
۱. **تعریف متغیر:**
$x$ = عدد وسطی
اعداد متوالی: $x-۲, x-۱, x, x+۱, x+۲$
۲. **تشکیل معادله:**
$ (x-۲)+(x-۱)+x+(x+۱)+(x+۲)=۶۵ $
۳. **ساده‌سازی و حل:**
در این حالت، اعداد ثابت یکدیگر را خنثی می‌کنند ($ -۲-۱+۱+۲=۰ $):
$ ۵x = ۶۵ $
$ x = \frac{۶۵}{۵} = ۱۳ $
با این روش، مقدار $x$ مستقیماً برابر با عدد وسطی یعنی **۱۳** به دست می‌آید.
**تفاوت راه‌حل فرشته و مهدیه:**
تفاوت اصلی در **تعریف متغیر $x$** است.
- **مهدیه** $x$ را **کوچک‌ترین عدد** در نظر گرفت که منجر به معادله $۵x+۱۰=۶۵$ شد.
- **فرشته** $x$ را **عدد وسطی** در نظر گرفت که منجر به معادله ساده‌تر $۵x=۶۵$ شد و پاسخ مسئله را مستقیماً به دست آورد.
روش فرشته به دلیل ساده‌سازی محاسبات، کارآمدتر است.
۲- مهدیه با توجه به آنچه سال گذشته آموخته بود، معادلۀ خود را به صورت زیر حل کرد:
این تصویر مراحل دقیق و اصولی حل یک معادله دو مرحله‌ای را نمایش می‌دهد. روش حل مهدیه بر اساس **حفظ تساوی** در دو طرف معادله استوار است؛ یعنی هر عملیاتی که روی یک طرف معادله انجام می‌شود، باید عیناً روی طرف دیگر نیز انجام شود تا تساوی برقرار بماند.
**توضیح مراحل:**
۱. **معادله اولیه:** $ ۵x + ۱۰ = ۶۵ $
۲. **حذف عدد ثابت:** برای جدا کردن جمله متغیردار ($۵x$)، عدد ثابت $۱۰$ را از دو طرف معادله کم می‌کنیم. این کار با افزودن قرینه $۱۰$ (یعنی $-۱۰$) به دو طرف انجام می‌شود.
$ ۵x + ۱۰ - ۱۰ = ۶۵ - ۱۰ \implies ۵x = ۵۵ $
۳. **حذف ضریب متغیر:** برای پیدا کردن $x$، باید ضریب آن یعنی $۵$ را از بین ببریم. این کار را با ضرب کردن دو طرف معادله در معکوس $۵$ (یعنی $ \frac{۱}{۵} $) یا تقسیم کردن دو طرف بر $۵$ انجام می‌دهیم.
$ \frac{۱}{۵} \times ۵x = \frac{۱}{۵} \times ۵۵ \implies x = ۱۱ $
این روش اصولی، پایه و اساس حل تمام معادلات جبری است.
۳- با توجه به سؤال بالا، روش حل معادله را توضیح دهید؛ سپس معادله‌های دیگر را به همین ترتیب حل کنید.
**توضیح روش حل معادله:**
برای حل یک معادله خطی، هدف اصلی **جدا کردن متغیر (مجهول)** در یک طرف تساوی و اعداد معلوم در طرف دیگر است. مراحل کلی به شرح زیر است:
۱. در صورت وجود پرانتز، ابتدا با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، آن را از بین می‌بریم.
۲. تمام جملات شامل متغیر را به یک طرف تساوی (معمولاً سمت چپ) و تمام اعداد ثابت را به طرف دیگر منتقل می‌کنیم. (توجه: وقتی جمله‌ای از یک طرف تساوی به طرف دیگر منتقل می‌شود، علامتش قرینه می‌شود.)
۳. جملات متشابه را در هر طرف ساده می‌کنیم.
۴. در نهایت، دو طرف معادله را بر ضریب متغیر تقسیم می‌کنیم تا مقدار آن به دست آید.
**حل معادله‌ها:**
- $ ۲(x-۱) = ۳(x+۴) $
- حذف پرانتز: $ ۲x-۲ = ۳x+۱۲ $
- انتقال متغیرها و اعداد: $ ۲x - ۳x = ۱۲ + ۲ $
- ساده کردن: $ -x = ۱۴ $
- حل نهایی: $ x = -۱۴ $
- $ ۳x - ۱ = x - ۷ $
- انتقال متغیرها و اعداد: $ ۳x - x = -۷ + ۱ $
- ساده کردن: $ ۲x = -۶ $
- حل نهایی: $ x = \frac{-۶}{۲} = -۳ $
